LAS OPERACIONES CON CONJUNTOS

Las operaciones con conjuntos

El álgebra de conjuntos, nos permiten realizar operaciones con conjuntos y obtener como resultado otro conjunto.

Centraremos nuestro estudio en las siguientes: unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica y complemento.

Para obtener una mejor comprensión, necesitamos en primer lugar conocer adecuadamente la teoría de conjuntos, que encontramos desarrollada en el siguiente artículo.

Determinación de un conjunto

Un conjunto se puede determinar de dos maneras: por extensión y por comprensión.

Por extensión:

Un conjunto está determinado por extensión cuando se escriben uno a uno todos sus elementos. Para ello los escribimos cada elemento separados por comas y encerrados entre llaves. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales menores que 9: A = {1,2,3,4,5,6,7,8}

Por comprensión:

Un conjunto está determinado por comprensión cuando solamente se menciona una característica común de todos los elementos. Por ejemplo, el conjunto formado por las letras vocales del abecedario: B = {x / x es una letra vocal}. Dos conjuntos son idénticos si, y sólo si, contienen los mismos elementos.

Unión de conjuntos

La unión de dos conjuntos A y B se define como el conjunto de todos los elementos que están en el conjunto A o en el conjunto B. La unión de dos conjuntos de denota como A ∪ B. También, se puede escribir como A ∪ B = {x|x∈A o x∈B}

Es decir que al unir dos conjuntos, el resultado contiene a todos los elementos de ambos conjuntos.

Además en la unión de conjuntos se cumple las siguientes propiedades:Conmutativa: por lo tanto A ∪ B = B ∪ A

Asociativa: es decir que dados tres o mas conjuntos tendremos (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

Intersección de conjuntos

Realizar la intersección de dos o más conjuntos, es definir un nuevo conjunto formado solamente por aquellos elementos que estén presentes en todos los conjuntos en cuestión. En otras palabras: sólo forman parte del nuevo conjunto, los elementos que tengan en común.

Existe un símbolo matemático para la intersección: ∩, como el símbolo unión invertido.

Para poner un ejemplo,la intersección de dos conjuntos llamados G y H se denota de la siguiente manera: G ∩ H.

        Diferencia de conjuntos

Operación en la cual dos conjuntos, A y B, especifican cuales elementos de uno no están en el otro, formando un nuevo conjunto llamado diferencia. La diferencia del conjunto A y el conjunto B, se representa como: A-B. La diferencia del conjunto B y el conjunto A, se representa como: B-A. Ambas operaciones arrojan resultados distintos, cuando los conjuntos no son iguales.

En la diferencia de conjuntos se cumple las siguientes propiedades: la diferencia de conjuntos no es asociativa, y no es conmutativa.

La diferencia es distributiva con respecto a la unión: (R ∪ S) – T = (R – T) ∪ (S – T); y a la intersección de conjuntos: (R ∩ S) – T = (R – T) ∩ (S – T).

      Diferencia simétrica de conjuntos

Dados dos conjuntos A y B, su diferencia simétrica, A Δ B, es un conjunto que contiene los elementos de A y los de B, menos los que son comunes a ambos.

En la diferencia simétrica de conjuntos se cumple las siguientes propiedades:Asociativa: (A Δ B) Δ C = A Δ (B Δ C)

Conmutativa: A Δ B = B Δ A

Distributiva respecto a la intersección: A ∩ (B Δ C) = (A ∩ B) Δ (A ∩ C).

Complemento de conjuntos

Para trabajar el complemento de conjuntos debemos recordar que existen conjuntos universales. Éstos son los que tienen todos los elementos de una clase, es decir que se usa como referencia para formar otros conjuntos, y se representa con la letra U.

El complemento de un conjunto A se forma con los elementos que le hacen falta al conjunto A para ser igual al conjunto universal. Esto de representa con Ac. Luego Ac = U – A

El complemento de conjuntos cumple las siguientes propiedades:

• Puesto que el conjunto universal contiene todos los elementos en consideración, y el conjunto vacío no contiene a ninguno, es decir: Uc = ∅
• El complemento del complemento de A es el propio A: (Ac)c = A
• La unión de un conjunto y su complementario es el conjunto universal: A ∪ Ac = U
• Un conjunto y su complementario son disjuntos: A ∩ Ac = ∅
• El complementario de A está contenido en el complementario de cualquier subconjunto de A: B ⊆ A implica que Ac ⊆ Bc.