CONOSCAMOS LAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Las medidas de tendencia central son parámetros estadísticos que informan sobre el centro de la distribución de la muestra o población estadística.

A veces, tratamos con una gran cantidad información. Variables que presentan muchos datos y muy dispares. Datos con muchos decimales, de diferente signo o longitud. En estos casos, siempre es preferible calcular medidas que nos ofrezcan información resumida sobre dicha variable. Por ejemplo, medidas que nos indiquen cuál es el valor que más se repite.

Sin perjuicio de lo anterior, no hay que irse tan lejos. Si miramos la siguiente tabla que muestra el salario que cobra cada uno de los trabajadores de una empresa que fabrica cajas de cartón, tendremos lo siguiente:Alguien podría preguntarse, ¿cuánto gana el trabajador promedio de esta empresa? En ese caso las medidas de tendencia central nos podrían ayudar. Concretamente, la media. Sin embargo, a priori, lo único que sabemos es que el número estará entre el mínimo y el máximo.

¿Para qué sirven las medidas de tendencia central?

Las medidas de tendencia central, como es obvio, persiguen una serie de objetivos que justifican su existencia.

En primer lugar, las medidas de tendencia central sirven para conocer en qué lugar se ubica el elemento promedio, o típico del grupo. Imaginemos que queremos saber qué grupo de música es el favorito de la clase. Para ello, podemos utilizar la moda.

Asimismo, las medidas de tendencia central sirven para comparar, así como para interpretar los resultados obtenido con relación a los distintos valores observados. Imaginemos que la nota media de los alumnos de una clase se sitúa en el 7, mientras hay alumnos que se sitúan en el 3.

También, las medidas de tendencia central sirven para comparar e interpretar el valor de una misma variable en distintas ocasiones. Imaginemos que valor medio de una variable no es representativa, por lo que podemos complementar con el valor mediano para extraer una imagen fiel.

Por último, este tipo de medidas sirven para comparar los resultados con otros grupos, atendiendo a estas mismas medidas de tendencia central. Imaginemos que queremos comparar la calificación media entre las distintas clases de un colegio. La media nos permite compararlas y saber qué clase saca mejores notas.

Medidas de tendencia central

A continuación, veamos las principales medidas de tendencia central, así como las distintas fórmulas que permiten calcular dichas medidas en cualquier caso.

Estas medidas son la media, la moda y la mediana.

                                                                                       Media

La media es el valor promedio de un conjunto de datos numéricos, calculada como la suma del conjunto de valores dividida entre el número total de valores. A continuación se muestra la fórmula de la media aritmética:

                          Mediana

La mediana es un estadístico de posición central que parte la distribución en dos, es decir, deja la misma cantidad de valores a un lado que a otro. Las fórmulas propuestas no nos darán el valor de la mediana, lo que nos darán será la posición en la que está dentro del conjunto de datos. Las fórmulas que indica la posición de la mediana en la serie son las siguientes:Cuando el número de observaciones es par:

Mediana = (n+1) / 2 → Media de las posiciones observacionesCuando el número de observaciones es impar:

Mediana = (n+1) / 2 → Valor de la observación.

                           Moda

La moda es el valor que más se repite en una muestra estadística o población. No tiene fórmula en sí mismo. Lo que habría que realizar es la suma de las repeticiones de cada valor. Por ejemplo, ¿cuál es la moda de la siguiente tabla de salarios?

Trabajador Salario

La moda sería 1.236€. Si vemos los salarios de los 10 trabajadores, veríamos que 1.236€ se repite en tres ocasiones.

CUESTIONARIO

https://forms.gle/2VcCWa7ek7TgEPnq6

APRENDIENDO LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 🐐

El primer paso que se hace necesario dar antes de entrar a establecer el significado del término razones trigonométricas es determinar el origen etimológico de las dos palabras que le dan forma:

Razones deriva del latín, de “ratio”, que es sinónimo de “razón”.

-Trigonométrico, por su parte, tiene un origen griego. Significa “relativo a la trigonometría”, y está compuesta de los siguientes elementos de esa lengua: el sustantivo “trigonon”, que puede traducirse como “triángulo”; el nombre “metron”, que equivale a “medida”, y el sufijo “-ico”, que significa “relativo a”.                            

Qué son las razones trigonométricas

Trigonometría es el nombre de la rama de la matemática que se dedica a realizar cálculos vinculados a los elementos de un triángulo. Para esto trabaja con unidades como el grado sexagesimal (que se emplea al dividir una circunferencia en 360 grados sexagesimales), el grado centesimal (la división se realiza en 400 grados centesimales) y el radián (que se toma como la unidad natural de los ángulos y señala que la circunferencia es susceptible de división en 2 pi radianes).

La noción de razón trigonométrica se refiere a los vínculos que pueden establecerse entre los lados de un triángulo que dispone de un ángulo de 90º. 

          Clasificación según el tipo

La razón trigonométrica tangente es la razón existente entre el cateto opuesto y el cateto adyacente. El seno, por su parte, es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa, mientras que el coseno es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.

Para comprender estas razones trigonométricas, por supuesto, hay que conocer qué son los catetos y la hipotenusa. El cateto adyacente es aquel que pasa por el ángulo de noventa grados, mientras que el cateto opuesto es, justamente, el opuesto al ángulo. Ambos, por lo tanto, conforman el ángulo de 90º. La hipotenusa, en cambio, es el lado mayor del triángulo.

Más allá de la tangente, el seno y el coseno, es posible reconocer otras razones trigonométricas que se utilizan menos, como la cotangente (la razón entre el cateto adyacente y el cateto opuesto), la cosecante (la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto) y la secante (la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente).

Razones trigonométricas en las circunferencias

No obstante, no podemos pasar por alto que también existen las razones trigonométricas en una circunferencia. En este caso, hay que tener en cuenta diversos datos de interés e importancia como estos:

-La circunferencia goniométrica es la que tiene su centro en lo que es el origen de las coordenadas, mientras que su radio es la unidad.

-En dicha circunferencia los mencionados ejes de coordenadas lo que hacen es delimitar a cuatro cuadrantes, apareciendo triángulos semejantes.

-En cuanto a las razones trigonométricas que pueden tener lugar en general podemos determinar que existen distintos tipos de relaciones, tales como los ángulos suplementarios, los ángulos complementarios, los ángulos opuestos, los ángulos que difieren en 180º, los ángulos mayores de 360º, los ángulos negativos, los que suman 270º e incluso los que difieren en 90º, entre otras modalidades.

-Asimismo existen en este caso razones trigonométricas del ángulo mitad o las llamadas de ángulo doble.

Aplicaciones de las Funciones Trigonométricas

Las funciones trigonométricas son funciones de un ángulo o de una cantidad abstracta usada en trigonometría. Estas funciones incluyen al seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente. Las funciones trigonométricas tienen una gran variedad de aplicaciones en diferentes áreas como ingeniería, ciencia, arquitectura y construcción.

A continuación, miraremos algunas de las aplicaciones de las funciones trigonométricas más importantes.

¿Existen aplicaciones de las funciones trigonométricas en la vida cotidiana?

Aplicaciones de las funciones trigonométricas en la ingeniería.

Aplicaciones de las funciones trigonométricas en la arquitectura y construcción.

Aplicaciones de las funciones trigonométricas en la ciencia.

LAS CONICAS Y SUS ELEMENTOS ( HIPERBOLA )👀

Según la tradición, las secciones cónicas fueron descubiertas por el geómetra y matemático griego Menecmo (380 A. C.- 320 A. C.), en su estudio del problema de la duplicación del cubo, mediante el cual demostró la existencia de una solución usando el corte de una parábola con una hipérbola, lo cual es confirmado posteriormente por los también geómetras Proclo y Eratóstenes.​

Sin embargo, el primero en usar el término hipérbola fue Apolonio de Perge en su tratado Cónicas,​ considerada la obra cumbre sobre el tema de las matemáticas griegas, y donde se desarrolla el estudio de las tangentes a las secciones cónicas.

La hipérbola es una curva plana, abierta, con dos ramas; se define como el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a otros dos fijos, llamados focos, es constante e igual a 2a = AB, la longitud del eje real. Tiene dos ejes perpendiculares que se cortan en el punto medio O, centro de la curva.

ELEMENTOS DE LA HIPERBOLA

• Focos: Son los puntos fijos F y F.

• Eje focal, principal o real: Es la recta que pasa por los focos.

• Eje secundario o imaginario: Es la mediatriz del segmento FF.

• Centro: Es el punto de intersección de los ejes.

• Vértices: Los puntos A y A son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal.

• Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a los focos: PF y PF.

• Distancia focal: Es el segmento FF de longitud 2C.

• Eje mayor: Es el segmento AA de longitud 2A.

• Eje menor: Es el segmento BB de longitud 2B.

• Los puntos B y B se obtienen como intersección del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio C.

• Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.

• Asintotas: Son las rectas de ecuaciones:

• Relación entre los semiejes:

ENCUESTA DE LA HIPERBOLA

https://forms.gle/VXi7Ga92krbZ47bW7

LAS CONICAS Y SUS ELEMENTOS ( PARABOLA )

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

PROPIEDADES DE LA PARÁBOLA

Se define como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F, llamado foco, y de una recta fija d, llamada directriz. Tiene un vértice v y un eje de simetría que pasa por v y por el foco y es perpendicular a la directriz. La tangente en el vértice de la curva es paralela a la directriz.

El vértice, como otro punto cualquiera, equidista de la directriz y del foco, por lo tanto estará colocado en el punto medio del segmento AF.

La directriz d de la curva hace de circunferencia focal de la parábola, en este caso de radio infinito. Según esto, la directriz es el lugar geométrico de los puntos simétricos del foco respecto de cada tangente.

La tangente en el vértice, que es una recta, hace de circunferencia principal y se define como en las curvas anteriores.

ELEMENTOS DE LA PARABOLA

• Foco: Es el punto fijo F.
• Directriz: Es la recta fija d.
• Parámetro: Es la distancia del foco a la directriz, se designa por la letra p.
• Eje: Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.
• Vértice: Es el punto de intersección de la parábola con su eje.
• Radio vector: Es un segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco.

 

Los elementos característicos de una parábola son: su eje o eje de simetría, el vértice (que corresponde con el máximo o mínimo de la parábola según sea su curvatura).

La ecuación de una parábola cuyo vértice es el (0,0) y su eje el eje de ordenadas.

LAS CONICAS Y SUS ELEMENTOS ( ELIPSE )😋

Una elipse es una curva plana, simple​ y cerrada con dos ejes de simetría que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.​ Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado. La elipse es también la imagen afín de una circunferencia.

                      CARACTERISTICAS 

Una de las características de la elipse es que si trazamos dos puntos cualquiera en alguno de los dos trazos mencionados, la unión de los mismos en el perímetro de la elipse siempre forma una figura cónica o triangular. Dependiendo de donde se tracen estos puntos, las líneas podrán ser mayores o menores o incluso iguales si son trazadas a similar distancia del perímetro. En algunos casos, las elipses pueden ser la proyección de la perspectiva de los círculos.

La elipse también aparece descrita normalmente como una curva más suavizada, lo cual la diferencia de los círculos o semicírculos. Sin embargo, esto no significa que sus ejes sean asimétricos si no que, para mantener la forma de elipse, siempre se debe mantener la proporción distante entre el trazo mayor y el menor.

Las elipses están presentes de muchas maneras en la vida real. Así, una de las formas más conocidas de elipses son los anillos planetarios alrededor de Saturno y de otros planetas. Estos anillos toman forma de elipse como también son elípticos los recorridos que estos planetas realizan alrededor del Sol. Luego, las elipses son formas importantes no sólo de la geometría y de la trigonometría, si no también de la informática y de diversos soportes computacionales en los que se las incluye en el lenguaje informático correspondiente.

LAS CONICAS Y SUS ELEMENTOS ( CIRCUNFERENCIA )

Elementos de las cónicas

• Superficie - una superficie cónica de revolución está engendrada por la rotación de una recta alrededor de otra recta fija, llamada eje, a la que corta de modo oblicuo.

• Generatriz - la generatriz es una cualquiera de las rectas oblicuas.

• Vértice - el vértice es el punto central donde se cortan las generatrices.

• Hojas - las hojas son las dos partes en las que el vértice divide a la superficie cónica de revolución.

• Sección - se denomina sección cónica a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. 

Circunferencia

                                                            ¿Qué es una circunferencia?

De manera formal, una circunferencia se define como el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de otro, llamado centro de la circunferencia.

No debemos nunca confundir el concepto de círculo con el concepto de circunferencia, que en realidad una circunferencia es la curva que encierra a un círculo (la circunferencia es una curva, el círculo una superficie).

A continuación vemos una imagen de una circunferencia.

En realidad, y de manera más sencilla, una circunferencia es el conjunto de puntos situados en el plano todos a la misma distancia de un mismo punto central, al que llamaremos centro, y del que hablaremos más adelante con detalle en la parte de elementos básicos de la circunferencia.

               Elementos básicos

En la imagen expuesta arriba se pueden ver todos los elementos que vamos a nombrar a continuación:

Centro: punto central que está a la misma distancia de todos los puntos pertenecientes a la circunferencia.

Radio: pedazo de recta que une el centro con cualquier punto perteneciente a la circunferencia.

Cuerda: pedazo de recta que une dos puntos cualquiera de una circunferencia.

Diámetro: mayor cuerda que une dos puntos de una circunferencia. Hay infinitos diámetros y todos pasan por el centro de la circunferencia.

Recta secante: recta que corta dos puntos cualesquiera de una circunferencia.

Recta tangente: recta que toca a la circunferencia en un solo punto y es perpendicular a un radio.

PERSONAJES

 PERSONAJES MAS IMPORTANTS DE LA GEOMETRIA  

Pitágoras

Probablemente el nombre más famoso durante el desarrollo de la geometría griega es Pitágoras, aunque solo sea por la famosa ley relativa a los triángulos en ángulo recto.

Este matemático vivía en una sociedad secreta que asumió una misión semirreligiosa.

A partir de esto, los pitagóricos desarrollaron una serie de ideas y comenzaron a desarrollar trigonometría. Los pitagóricos agregaron algunos nuevos axiomas a la tienda de conocimiento geométrico.La suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos * (180o).

La suma de los ángulos externos de un triángulo es igual a cuatro ángulos rectos (360o).

Otro es la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono es igual a 2n-4 ángulos rectos, donde n es el número de lados.La mayoría de estas reglas son instantáneamente familiares para la mayoría de los estudiantes, como principios básicos de geometría y trigonometría. Uno de sus alumnos, Hipócrates, llevó más lejos el desarrollo de la geometría.

Fue el primero en comenzar a usar técnicas geométricas en otras áreas de las matemáticas, como resolver ecuaciones cuadráticas, e incluso comenzó a estudiar el proceso de integración.

Estudió el problema de la cuadratura del círculo (que ahora sabemos que es imposible, simplemente porque Pi es un número irracional).

      Euclides 

Junto a Pitágoras, Euclides un nombre muy famoso en la historia de la geometría griega. Reunió el trabajo de todos los matemáticos anteriores y creó su trabajo emblemático, 'Los elementos', seguramente uno de los libros más publicados de todos los tiempos.

En este trabajo, Euclides expuso el enfoque para la geometría y las matemáticas puras en general, y propuso que todas las afirmaciones matemáticas deberían probarse mediante el razonamiento y que no se necesitaban medidas empíricas. Esta idea de prueba aún domina las matemáticas puras en el mundo moderno.

Arquímedes

Arquímedes fue un gran matemático y fue un maestro en la visualización y manipulación del espacio. Perfeccionó los métodos de integración y diseñó fórmulas para calcular las áreas de muchas formas y los volúmenes de muchos sólidos.

A menudo usaba el método del agotamiento para descubrir fórmulas. Por ejemplo, encontró una manera de calcular matemáticamente el área debajo de una curva parabólica; Calculó un valor para Pi con mayor precisión que cualquier matemático anterior; y demostró que el área de un círculo es igual a Pi multiplicado por el cuadrado de su radio. También mostró que el volumen de una esfera es dos tercios del volumen de un cilindro con la misma altura y radio. Este último descubrimiento fue grabado en su lápida.

Apolonio de Perga (262 - 190 aC)

Apolonio era matemático y astrónomo, y escribió un tratado llamado "Secciones cónicas". A Apolonio se le atribuye la invención de las palabras elipse, parábola e hipérbola, ya menudo se le conoce como el Gran Geómetro.

También escribió extensamente sobre las ideas de tangentes a curvas, y su trabajo sobre cónicas y parábolas influiría en los estudiosos islámicos posteriores y su trabajo sobre la óptica.

La geometría griega y su influencia.

La geometría griega finalmente pasó a manos de los grandes eruditos islámicos, quienes la tradujeron y la agregaron. En este estudio de la geometría griega, hubo muchos más matemáticos y geometristas griegos que contribuyeron a la historia de la geometría, pero estos nombres son los verdaderos gigantes, los que desarrollaron la geometría tal como la conocemos hoy.

Rene Descartes

La geometría analítica, también conocida como geometría de coordenadas, implica colocar una figura geométrica en un sistema de coordenadas para ilustrar pruebas y obtener información mediante ecuaciones algebraicas.

Carl Friedrich Gauss

El siguiente gran desarrollo en la historia de la geometría vino con el desarrollo de la geometría no euclidiana. Carl Friedrich Gauss (1777–1855), quien junto con Arquímedes y Newton es considerado como uno de los tres matemáticos más grandes de todos los tiempos, inventó la geometría no euclidiana antes del trabajo independiente de Janos Bolyai (1802–1860) y Nikolai Lobachevsky (1792-1856).

Cuáles son las aplicaciones de la geometría

• En física aplicada.
•  Mecánica.
• Arquitectura.
•  Geografía.
•  Cartografía,
•  Astronomía.
•  Náutica.
• Topografía.
•  Balística.
• Artesania, etc.

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GEOMETRIA Y SUS DESCUBRIMIENTOS

¿Qué es la geometría?

La geometría es una de las áreas de la matemática que trata de las propiedades y medida de la extensión. En su origen, la geometría tuvo una finalidad eminentemente práctica, como lo revela la etimología griega (de geo, tierra; metrein, medir). La necesidad de medir la tierra para repartir los campos con exactitud dio nacimiento a esta ciencia. El termino latino agrimensura tiene el mismo significado, pero el desarrollo posterior de la geometría, como ciencia teórica, obligo a reservar el concepto de agrimensura a la técnica que se ocupa de la medición de los terrenos.

El comienzo de la historia de la geometría

Los mas antiguos estudios de la historia de la geometría fueron hechos por los antiguos caldeos y egipcios. Los primeros, aunque no sistematizaron sus estudios, obtuvieron algunos resultados correctos, y los segundos hicieron grandes progresos, como lo demuestra la construcción de las pirámides consideradas hoy como una de las maravillas del mundo.

Los egipcios fueron los primeros que usaron la geometría para medir los terrenos. El Nilo, río que atraviesa su territorio, se desborda todos los años provocando grandes inundaciones, que son aprovechadas en la fertilización de los campos. Los egipcios se veían obligados después de cada inundación a efectuar mediciones para delimitar los campos y terrenos.

Era muy importante para ellos marcar las esquinas de los terrenos en ángulo recto y conocieron prácticamente algunas de las relaciones entre los lados de los triángulos rectángulos.

Sin embargo, estas culturas sentaron las bases de la geometría griega e influenciaron a los griegos, quienes aportarían una metodología deductiva a la geometría, tratando de encontrar reglas elegantes que sustenten el campo.

Geometría griega como ciencia

La historia de la geometría como ciencia independiente, sobre bases rigurosas, corresponde a los griegos Pitágoras, Euclides, Arquímedes y Apolonio.

Sin embargo, todavía podemos ver una visión general decente y también comenzar a ver algunos de los grandes nombres, los matemáticos griegos que darían forma al curso de la geometría griega.

El primero, y uno de los nombres más importantes, es Tales de Mileto, un matemático que vivió en el siglo VI a. Se le considera como el padre de la geometría y comenzó el proceso de usar la deducción de los primeros principios.

Se cree que viajó a Egipto y Babilonia, recogiendo técnicas geométricas de estas culturas, y ciertamente habría tenido acceso a su trabajo.

Tales de Mileto creía firmemente que el razonamiento debería reemplazar la experimentación y la intuición, y comenzó a buscar principios sólidos sobre los cuales pudiera construir teoremas.

Esto introdujo la idea de prueba en la geometría y propuso algunos axiomas que creía que eran verdades matemáticas.

• Un círculo está bisecado por cualquiera de sus diámetros.
• Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales
• Cuando dos líneas rectas se cruzan, los ángulos opuestos son iguales
• Un ángulo dibujado en un semicírculo es un ángulo recto
• Dos triángulos con un lado igual y dos ángulos iguales son congruentes.

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INTRODUCCION A LA HISTORIA DE LA GEOMETRIA

Aunque en muchas ocasiones no nos demos cuenta, la Geometría está presente en nuestro día a día. Figuras planas y cuerpos geométricos están presentes en nuestro entorno y son muchas las ocasiones en que calculamos longitudes, áreas y volúmenes . Esto hace que la Geometría sea un bloque imprescindible de la asignatura de Matemáticas. 

El hecho de que sea un bloque tan importante hace que tengamos que remontarnos a su origen y ver cómo de importante ha sido esta rama de las Matemáticas a lo largo de la historia.

El origen de la geometría comenzó con una necesidad práctica de medir formas. La palabra geometría significa "medir la tierra" y es la ciencia de la forma y el tamaño de las cosas.

Se cree que la geometría cobró importancia por primera vez cuando el faraón egipcio quería gravar a los agricultores que cultivaban cultivos a lo largo del río Nilo. Para calcular la cantidad correcta de impuestos, los agentes del faraón tenían que medir la cantidad de tierra cultivada.

La geometría, considerada desde un punto de vista estrictamente matemático, la ciencia que se ocupa de las relaciones entre cuatro magnitudes simples: longitud, latitud, profundidad y abertura angular, y dos compuestas: superficie y volumen, estudia el espacio y las figuras que pueden ocuparlo. La naturaleza está llena de variadas formas geométricas: círculos, triángulos, cubos, pentágonos, hexágonos, decaedros, espirales.